1、引言

有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。这三个方面是相互关联的，缺一不可。正是由于计算机的飞速发展，才使得有限元方法的应用如此广泛和普及，使之成为最长常用的分析工具。目前，国际上有90%的机械产品和装备都要采用有限元进行分析，进而进行设计修改和优化。实际上有限元分析已经成为替代大量实物试验的数值化“虚拟试验”，基于该方法的大量计算分析与典型的验证性试验相结合可做到高效率和低成本。

有限元法讲解及运用

2.有限元方法的历史

  20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机的结构提出了愈来愈高的要求，即质量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，正是在这一背景下，逐渐在工程 中产生了矩阵力学分析方法，1941年 ，Hrenikoff使用“框架边形功德方法”求解了一个弹性 问题，1943年，Courant发表了一篇使用三角形区域的多 项式函数来求解扭转问题的论文，这些工作开创了有限 元分析的先河。

1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆，梁三角形的单元刚度表达式，兵求得了平面应力问题的正确解答，1960年Clough在处理平面弹性平面时，第一次 提出并用“有限元方法”得名称。随后大量的工程师开 始使用这一离散方法来处理结构分析，流体问题，热传导等复杂问题。1955年德国的Argyris出版了第一本关于 结构中能量原理和矩阵方法得书，为后续的有限元研究 奠定了重要的基础，1967年Zienkiewciz和Cheung出版了 第一本有关有限元分析得专著。1970年以后有限元方法 开始应用于处理的非线性分大变形问题，Oden于1972年出版了第一本关于处理非线性连续体的专著。这一时期 的理论研究工作是比较简单的实际问题，1975年，对一个300单元的模型，在当时先进的计算机上进行2000万次 计算大约需要30小时的机时，花费约3万美金，如此高昂 的计算成本严重限制了有限元方法得发展和普及。然而，许多工程师们都对有限元方法的发展你前途非常清楚，因为它提供了一种处理复杂真实问题的有力工具。

在工程师研究和应用有限元方法得同时，一些数学 家也在研究求解有限元的数学基础，实际上1943年 Courant得哪一篇开创性得论文就是研究求解平衡问题的 变分方法，1963年Besseling，Meldsh和jones等人研究 了有限元方法得数学原理。还有学者进一步研究了加权 残值法与有限元方法之间的关系，对于一些尚未确定出 能量泛函得复杂问题，也可以建立起有限元分析的基本方程，这可以将有限元方法德应用领域大大的扩展，我 国的胡海昌于1954年提出了广义变分原理，钱伟长最先 研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系。冯 康研究了有限元分析得精度于收敛性问题。

我国著名力学家，教育家徐芝纶院士（河海大学教授）首次将有限元法引入我国，对它的应用起了很大的推动作用。

3.有限元法的基本思想

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。

基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

方法运用的基本步骤：

步骤1：剖分

将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等，每个单元的顶点称为节点（或结点）。

步骤2：单元分析

进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数。

步骤3：求解近似变分方程

用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。

有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。

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