1. 简介

展开式结构在航空航天、汽车和土木工程应用中被广泛使用，这些可展开系统（如太阳能板、天线、桥梁结构或遮阳篷）在运输或储存期间需要保持紧凑，并在使用时展开成其功能形状。在设计薄壁可展开壳体结构时，通?；崾褂?/span>“切口”。当结构被折叠或压缩时，这些切口允许壳体以特定方式弯曲或折叠。在激活或释放约束后，结构可以展开或扩展，过渡到其部署配置。通过仔细设计切口的大小、形状和拓扑，工程师们可以实现各种部署机制和功能。本文所研究的编织复合材料带状弹簧铰链（Composite tape-spring hinge, CTSH）是这一概念的经典应用，见图 1。切口的设计与 CTSH 折叠展开中的关键指标显著相关，其中切口的形状优化和拓扑优化展示了出了突出价值。本文将对继续对切口的形状优化和拓扑优化进行研究，以期进一步提升 CTSH 性能，具体为：1）切口形状优化，保证 CTSH 无损伤折叠的前提下最大化其内部储存应变能和展开力矩峰值；2）切口拓扑优化，保证 CTSH 无损伤折叠的前提下，实现刚度与轻量化或临界屈曲载荷与轻量化的兼顾。

 

有限元模拟为评估复合材料薄壁可展开结构的折叠、部署和失效机制提供了有效的计算方法，是本文结构优化设计的基础。在进行有限元模拟前需要表征编织复合材料的弹性特征，该特征一般以基于经典层合板理论推导的 ABD 矩阵进行描述。该矩阵描述了层合板面内力( , , ) N N N x y xy和力矩( , , ) M M Mx y xy与产生的应变( , , )x y xy和曲率( , , )x y xy之间的关系，具体的本构方程如公式（1）所示：

 

 

 

其中子矩阵A和B分别表示层压板的拉伸和弯曲刚度特性，D表示面内和面外载荷与变形之间的耦合。编织复合材料因其内部复杂的异质化程度导致经典层合板理论对其弯曲刚度计算精度不足，基于周期性代表性体积单元（Representative Volume Element，RVE）的均匀化思想提供了更为准确的数值求解方法。该方法的一般求解策略为：根据编织复合材料的几何特征构建中观尺度的代表性体积单元有限元模型，对模型施加周期性边界条件（Periodic Boundary Conditions，PBC）以近似宏观尺度结构在不同方向的变形，最后根据均匀化假设计算出 ABD 中的等效刚度。然而这一过程涉及到了繁琐的有限元建模、后处理等流程，难以直接应用于不同类型的编织复合材料上。本文在 ABAQUD/CAE 环境中开发了一款名为“ABD Matrix of Woven Composites (AMWC)” 的插件工具，该插件可以自动完成不同形式的编织复合材料的数值均匀化流程，帮助用户直接获得 ABD 矩阵。随后利用Abaqus 提供的离线壳单元属性接口输入该 ABD 矩阵后，可使用一般壳单元来构建编织复合材料 CTSH 的宏观有限元模型。

 

Abaqus 壳单元在薄壁复合材料结构的宏观力学响应模拟上展现了理想的精度和效率，所以本将沿用基于壳单元的有限元模型进行 CTSH 切口形状优化和拓扑优化。截至目前，已有一定量的研究证明了切口优化设计对 CTSH 折叠展开过程中的失效分布、准静态行为、动力学特征等相关性能的提升有效，但是研究主要集中在尺寸优化上，关于切口形状优化研究较少。切口形状优化通常使用多个控制点来调整样条曲线来生成不同的边界方案后构建有限元模型来计算相应的力学响应，经最优化技术寻优后获得最优解。对于形状优化这种多设计变量、多目标的复杂优化问题，无论使用基于梯度信息的优化方法（梯度下降法、序列二次规划等）还是全局优化算法（多岛遗传、模拟退火等）都难以避免海量的迭代计算。同时 CTSH 折叠与展开是一个高度非线性的变形过程，为保证求解精度和数值收敛性，需要使用更为高级的 Abaqus/Explicit 分析方法，单次有限元分析可能就要数个小时之久。如果使用上述优化方法直接调用这样的高保真有限元模型进行优化迭代，会产生庞大的计算成本。因此，近似元模型或代理模型在结构设计中得到广泛应用，流行的替代模型包括响应面、克里金法、神经网络、径向基函数（RBF）、支持向量或高斯过程回归（GPR）以及移动最小二乘法等。这些近似模型通过简单的显式函数或黑盒函数来表达目标函数（输出）和设计变量（输入）之间的关系，从而能够显着节省计算成本并探索更广泛的设计空间，这完美适配了 CTSH 切口形状优化的需求。

 

相比于形状优化，拓扑优化是一种更为高级的结构优化技术，原因在于其对结构进行了重塑和材料的最优分配?；谎灾?，在 CTSH 切口优化中，形状优化关注的是在切口数量和位置已知前提下的最佳切口边界问题，拓扑优化同时考虑了切口的数量、位置、形状等多个设计要素。在连续体结构的拓扑优化中，通过不断评估单元的灵敏度来判断该单元对目标函数的贡献度。以最小化问题为例，贡献度大的单元得到保留或者增强，反之进行删除或削弱。当前流行的拓扑优化方法有均匀各向同性材料惩罚法（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）、双向渐进结构优化法（Bi-directional Evolutionary Structural Optimization，BESO）和水平集方法（Level Set Method）等[7]。截至目前，关于薄壁壳结构的拓扑优化方法大部分集中在各向同性材料并且以柔顺度最小或者刚度最大为优化目标的优化问题上，难以直接应用于 CTSH 这类需要同时考虑大变形、材料各向异性以及局部失效的结构上。将拓扑优化设计思想与 CTSH 切口设计结合并解决当前算法的局限性是一个具有挑战且具备实际意义研究工作。本文将 Abaqus 和 BESO 结合，提出了一个针对薄壳结构的拓扑优化框架。该框架同时适用于各向同性壳单元和各向异性壳单元，通过替换单元灵敏度表达式可以实现刚度拓扑优化和屈曲拓扑优化之间切换。

 

本文结构如下。第 2 节介绍 ABD 矩阵的均匀化流程和本文所开发的计算工作，第 3 节给出了 CTSH 切口形状多目标优化问题的数学表达式并描述了加速优化平台，第 4 节描述了 CTSH 的拓扑优化框架，第 5 节为结论。

 

2. 编织复合材料 ABD 矩阵计算插件

图 2 展示了编织复合材料多尺度分析的一般建?？蚣埽扇龀叨戎涞牧酱尉然迪?。首先在微观尺度下建立仅包含单根纤维和树脂的 RVE，通过施加 PBC 分别进行 6 个方向的变形加载，随后获得单根纱线的正交各向异性工程常数。这一部分所涉及的理论与计算我们已经在先前的研究[8]中进行详细的阐述，并开发了一个名“Viscoelastic RVE Calculator”的 Abaqus 插件来实现这一均匀化过程的自动化。使用编织复合材料建模软件Texgen 生成中观尺度 RVE 有限元模型。这里需要再次施加 PBC 来确保细观结构中纱线和基体性能的均匀化。在本研究中，我们采用 Kueh 和 Pellegrino [9] 提出的均质基尔霍夫板理论。

 

如图 3（a）所示，位于 RVE 侧面的单元节点通过刚性垂直梁（*MPC 梁）连接到位于中平面的参考点，每个参考点都与相应的参考点相关。通过强制周期性边界条件的约束方程来确定相对面上的参考点。规定相对参考点的相对位移和旋转的方程如下：

 

 

 

 

 

 

图 2. 用于预测编织复合材料 ABD 矩阵的两步多尺度均匀化方法的建模框架

 

 

图 3. (a)侧面具有 MPC 约束的 RVE 和(b)编织复合层压板的中面示意图的有限元网格图

 

最终我们将上述计算编织复合材料 ABD 矩阵的全过程集成在了一个界面简单友好的操作界面中，如图 4 所示。用户再导入编织复合材料中观尺度 RVE 有限元模型后，在界面中选定编织类型并输入经纱和纬纱数量、层数、纱线和树脂的材料参数后，点击 Apply，可在指定的工作路径下自动获得写入 ABD 矩阵的文本文件。

 

 

图 4. ABD matrix of wowen composite（AMWC）插件的 GUI 窗口

 

3. CTSH 形状优化

3.1 CTSH 有限元模型

图 5 所示为 CTSH 的有限元模型和边界条件。两端截面通过节点分别与参考点 A 和 B耦合实现保持刚性运动。对于以 A 点为参考的截面，只允许绕 x 轴X旋转；对于以 B 点

为参考的截面，允许使用X和C UX。点 A 和点 B 绕 x 轴的旋转由 C 虚拟点CX控制。CTSH由图 5 所示的 45°两层平纹层压板制成， 0°方向对应于圆柱体的轴线。材料所有参数（纱线和树脂）取自[4]，通过 AMWC 计算出 ABD 矩阵如公式（13）所示，单位 mm：

 

 

 

获得壳单元等效刚度矩阵后，铰链通过四节点简化积分壳单元 (S4R) 进行离散化，全局单元尺寸为 3.0 mm，共计 3300 个单元。CTSH 准静态折叠展开是一个求解器使用Abaqus/Explicit，在详细模拟和优化之前检查网格独立性。通过在整个模拟过程中监测模型能量变化来确保准静态条件。

 

 

图 5. CTSH 有限元模型

 

3.2 CTSH 切口形状优化

在建立了高保真有限元模型后，我们选择了如图 5（a）所示的切口几何形状（D = 28 mm，L = 66 mm，W = 10 mm）的 CTSH 作为初始设计进行了力学机制分析。图 5（c）两个线图中的红色曲线分别代表了初始 CTSH 内部应变能在折叠过程中Es随折叠角度增加的变化和在展开过程中弯矩Md随角度的变化。蓝色空心圆分别标记的是 CTSH 完全折叠时内部的应变能（最大储存应变能max Es）和展开过程中输出的最大弯矩（展开力矩峰值

max Md）两者直接反映了 CTSH 展开能力。在之前的研究中[10]，我们固定 W 和 L 两个尺寸讨论了单纯改变 D 对max Es 、 max Md和切口边缘失效的情况。这里我们使用了针对双层平稳编织复合材料的多维准则对 CTSH 变形过程中的破坏情况进行评估。该失效准则由FI1, FI2和FI3三个指数进行描述，三者同时小于 1 意味着结构是安全的。详细公式和推导过程可见[11]。通过参数化讨论我们发现，单纯减小 D 尺寸可以显著提升maxEs和max Md ，但是会导致( 1,2,3) FI i i=显著提升。这体现了尺寸优化在本文问题上的局限性，所以我们构建了如公式（14）所示的多目标形状优化数学表达式。

 

 

 

在图 5（a）所示的设计空间内，我们选定了P0, P1, P2和P3四个控制点来控制样条曲线构造出不同的切口形状。其中P0固定，P1可以在1x ?[45,60]和1y ?[5,15]构造的矩形空间内移动， P2可以在2x ?[60,75]和2y ?[5,15]构造的矩形空间内移动， P3在 y 方向进行约束，仅可以在3x ?[60,75]区间内移动。CTSH 准静态折叠展开是一个高度非线性的变形过程，使用上述高保真有限元进行建模求解非常耗时，在配备 AMD Ryzen 7 3700X 8 核CPU、频率为 3.59 Hz 的 PC 上运行通常需要大约 3 小时才能完成。因此，该铰链的优化是计算机密集型的，并且迫切需要替代建模。

 

 

图 5. CTSH 切口形状优化

 

结合 Abaqus、数据驱动代理模型和 Isight，本文构建了如图 5（b）所示的一个形状加速优化平台。采用最优拉丁超立方技术对设计空间进行抽样，生成了 600 组不同切口形状的 CTSH 几何模型，输入至 ABAQUS/Explicit 有限元脚本执行批量计算后获得数据。使用其中 300 组数据用以训练代理模型(径向基模型 RBF、克里金模型 Kriging、高斯回归模型GPR 和人工神经网络 ANN 模型)，代理模型建立了形状控制点坐标与 CTSH 展开力矩峰值、最大折叠应变能以及失效指数之间的映射关系。剩余 300 组数据用于验证代理模型的预测精度。这一部分工作通过 Abaqus Python 参数化建模脚本自动运行。将获得的样本数据离线构造了 4 个代理模型，经拟合优度 R2评估后可准确反映输入与输出的关系，并且保证预测时间在 1s 左右。在 Isight 环境内搭建优化框架，使用多目标优化算法(非支配排序遗传算法，NSGA-II)调用代理模型进行优化迭代。经过 20000 次迭代后获得了图 5（c）所示的最优切口形状，max Es 、 max Md两个优化目标分别提升了 50%和 35%，并且避免了切口边缘发生破坏（图 6），同时节省了 97%的计算成本。

 

 

图 6. 初始设计与优化设计的失效指数分布对比

 

4. CTSH 拓扑优化

4.1 直角型 CTSH

图 7 展示了本小节研究的直角型 CTSH，该 CTSH 由两根编织复合材料薄壁圆管拼接而成。通过在相交处（同时也是形变最大处）开取圆孔来避免应力集中产生的破坏，从而实现无损伤折叠。同时，为了使铰链在展开后具备足够的承载能力，整根铰链采用了非统一的铺层设计。如图 7 右图所示，折叠变形最大处使用刚度较弱的 2 层铺层方案，其余部分通过多次试错分别确定为 3 层、4 层和 6 层方案。

 

 

图 7. 直角型 CTSH[12]

 

在直角 CTSH 应力集中处开取的切口是一个需要被谨慎设计的问题，轻微的轮廓调整都会打破失效指数与弯曲刚度之间的平衡。虽然在第 3 小节中已经证明形状优化对于这类问题提供了良好的适应性，但是形状优化仅对单切口的形状进行了调整，使用可以同时考虑切口位置、切口数量、切口形状的拓扑优化能否获得更进一步的设计空间是一个值得研究的科学问题。

 

4.2 各向异性壳结构拓扑优化框架

基于 BESO 拓扑优化理论，结合 Abaqus 和 Python 语言开发了一套灵活的拓扑优化框

架。图 8 右图中灰色流程图为基础 BESO 框架[13]，黄色部分为改进内容。该框架在Abaqus/CAE 环境中首先建立完整的有限元模型，为每个单元赋予材料属性（各向同性材料输入杨氏模量和泊松比），选择 Abaqus 求解器进行有限元分析。在 Abaqus 生成的.obd 文件中提取出每一个单元相关物理量响应，将这些信息带入 BESO 算法中计算每个单元对目标函数的灵敏度，低于灵敏度阈值的单元进行删除形成切口，其余保留。随后判断当前切口分布下的目标函数和体积分数是否满足约束条件和收敛准则，不满足则进入下一次迭代。

 

 

图 8. 直角型 CTSH 拓扑优化框架

 

本文框架可以求解 CTSH 结构的刚度拓扑优化问题和屈曲拓扑优化问题，对应的数学表

达式分别见公式（15）和公式（16）。

 

 

 

 

 

其中1为第一阶屈曲特征值，δ1为第一阶屈曲模态，K为全局应力刚度矩阵，其余项与公式（15）相同。

 

 

图 9. 拓扑优化结果对比

 

在对直角 CTSH 进行刚度拓扑优化（柔顺度最小化问题）时，将原始 BESO 框架中的各向同性壳单元属性替换为 ABD 矩阵（本小节所使用平纹编织复合材料的材料参数和几何参数全部由[3]提供，ABD 矩阵由 AMWC 计算获得），Abaqus 求解器打开 Nlgeom 开关同时在灵敏度公式中加入权重因子同时考虑刚度灵敏度和失效指数灵敏度。在进行少次迭代后，铰链的中心折叠位置首先出现了图 8 左图放大区域所展示的切口，该切口保证了铰链满足失效约束。随后 CTSH 将进一步删除铰链中刚度贡献度较低的单元，直至到达 80%的体积约束。屈曲拓扑优化只需要将 Abaqus 求解器替换为 Buckling 同时修改灵敏度公式即可。对满足失效约束的铰链结构进一步进行屈曲拓扑优化，逐步删除对临界屈曲载荷贡献较低的单元直到满足 80%体积约束条件。图 9 左图展示了刚度拓扑优化结果对比，表 1 对应具体结果?？梢钥闯鐾闶ё荚虻奶跫?，本文框架在减重 20%的范围内均表现出了较文献[3]更优的弯曲刚度。图 9 右图展示展示了减重 20%的情况下，结构的临界屈曲载荷几乎没有损失，体现屈曲拓扑优化的正确性和有效性。

 

表 1 图 9 四种优化结构KB和max FI ( ) X对比

 

 

5. 结论

借助 Abaqus 强大的数值求解功能和灵活的二次开发能力，面向空间可展开结构领域中的薄壁编织复合材料结构的建模和优化分别开发了一款 ABD 矩阵计算插件、一个参数优化加速平台和一个拓扑优化框架。插件将编织复合材料繁琐的数值均匀化过程集成于一个简单友好界面中，可快速计算出不同编织形式的编织复合材料 ABD 矩阵。搭建的参数优化加速平台串联了试验设计、有限元计算、数据驱动代理模型和优化算法?；诟梅椒ɑ竦玫腃TSH 最优切口形状将最大应变能和展开力矩峰值分别提升了 50%和 35%，同时节省了97%的计算成本。提出的针对各向异性壳结构的拓扑优化框架可以灵活切换于刚度或屈曲优化问题。刚度拓扑优化实现了失效约束下的大变形薄壁复合材料壳结构刚度最大化，屈曲拓扑优化实现了临界屈曲载荷与结构轻量化之间的平衡。

 

资料来源：达索官方